미리 읽는 책 한 쪽┃『수냐의 수학카페 2』계산 낙오자, 수냐를 만나다!


왜 곱셈과 나눗셈을 먼저 해야 하지?


니체 | 안녕하십니까! 니체입니다. 철학자죠. 아마도 니체라는 이름을 많이 들어보셨을 겁니다. 제가 바로 그 니체입니다. 저의 문제는 수학의 기호나 계산 순서와 관련된 것입니다.

우선 저는 왜 곱셈과 나눗셈을 먼저 해야 하는지 모르겠습니다. 8+12÷6-11을 보세요. 그냥 앞에서부터 차근차근 해나가면 얼마나 좋습니까? 그럼 헷갈릴 일도 없잖아요. 그런데 그렇게 하면 답이 틀렸다고 합니다. 아니, 저렇게 써줬으면서 왜 중간 것부터 하라는 것인지 이해를 못 하겠습니다. 다 같은 기호인데 그 안에서도 무슨 서열 같은 게 있습니까? 서열이 있다면 무슨 기준과 근거로 서열을 정하는 것입니까?

질문은 또 있습니다. 제가 나눗셈을 배울 때 나눗셈이 갑자기 곱셈으로 바뀌는 것을 목격했습니다.


5÷45=5×1/45


아니! 나누는 것과 곱하는 것은 엄연히 다르잖아요. 문자가 다르고, 뜻이 다른데 어떻게 두 개가 등호로 연결될 수 있습니까? 저렇게 하나로 연결될 거 같으면 아예 하나를 쓰던지, 아니면 각기 다른 규칙과 방법을 사용하던지 해야지. 안 그렇습니까?

무슨 사정이나 사연이 있다고요? 사정은 무슨 사정 말입니까? 게다가 더 화가 나는 것은 어디에서나 저렇게 하라고 명령하기만 할 뿐, 왜 그런가에 대해서는 아무런 설명도 없다는 겁니다. 좋게 봐줘서 저렇게 약속되었다고 칩시다. 모든 약속에는 그럴 만한 이유가 있는 거잖아요. 하늘에서 뚝 떨어진 그런 약속이 어디 있습니까?

어떤 절대적인 관념이나 가치도 거슬러 올라가보면 그렇게 될 수밖에 없었던 이유가 있습니다. 그 배경을 알면 약속도 잘 이해될 수 있습니다. 그리고 필요하다면 현재에 맞게 얼마든지 약속을 적절하게 고쳐서 활용할 수 있게 됩니다. 그런데 계산에서는 그런 게 전혀 없었습니다. 어떤 책에서도 계산의 규칙을 그저 제시하기만 했습니다. 수학이 신으로부터 받은 무슨 계시입니까? 따지고 보면 계시란 것도 사람마다 다르게 찾아오는 법입니다.

전 도저히 이런 상황을 수용할 수가 없었습니다. 수학깨나 한다는 사람한테 가서 물어봐도 마찬가지였습니다. 그런 걸 묻냐며 무시하기 일쑤였습니다. 알고나 무시하는지 원! 그러다 맘대로 질문하고, 맘대로 답해볼 수 있는 수학카페를 알게 돼 이렇게 찾아오게 됐습니다. (중략)




곱셈은 특별한 덧셈, 나눗셈은 곱셈의 역!


갈릴레이 |어디 보자. 덧셈은 합하는 것이고, 뺄셈은 빼는 것이야. 고로 덧셈에서 양은 늘어나게 되고, 뺄셈에서 양은 줄어들게 되지. 뭐 이렇다 할 만한 게 없군. 곱셈과 나눗셈은 어떻게 정의되어 있지?

니체 | 내가 한번 읽어볼게. 곱셈…… ‘몇 개의 수나 식 따위를 곱하여 계산함’, 나눗셈은 ‘몇 개의 수나 식 따위를 나누어 계산함’(국립국어원). 그 말이 그 말이군.

유클리드 | 사전적 정의보다는 수학적인 정의를 보는 게 좋겠어.

니체 | ‘사과가 5개씩 묶여 있는 봉지가 4개 있다. 사과의 총 개수는 5+5+5+5개인데 이것을 간단히 줄여서 5×4라고 한다. 즉, 5×4는 5를 4번 더하는 것과 같다.’

유클리드 | ‘×’는 앞에 있는 수를 뒤에 있는 수만큼 더하라는 뜻이군. 7×5=7+7+7+7+7!

니체 | 그래? 그렇다면 곱셈은 덧셈과 별로 다를 게 없네. 아니, 다른 게 없다기보다는 특별한 덧셈이라고 할 수 있겠군. 특정한 수를 반복해서 더하는 것이니까. 덧셈의 부분집합이야.

곱셈이란 건 덧셈을 전제로 한 계산이야. 그 말은 덧셈이 먼저 시작되었고, 곱셈은 그런 덧셈의 과정에서 파생된 것임을 뜻해. 난 사칙연산을 각기 다른 걸로 알고 있었는데…….

유클리드 | 그런 사정은 나눗셈도 마찬가지야.

니체 | 나눗셈도? 어디 한번 확인해볼게. ‘10개의 사과를 2개씩 나눠주면 다섯 사람에게 나눠줄 수 있다. 이것을 간단히 10÷2=5라고 한다.’ 나눗셈은 나눠주는 것이잖아. 이건 덧셈이나 뺄셈과는 전혀 다른 계산이야.

유클리드 | 과연 그럴까? 어떻게 보느냐에 따라 달라. 하나 물어볼게. 나눠주는 것의 반대는 뭐지?

니체 | 나눠주는 것의 반대? 그거야 거둬들이는 거겠지.

유클리드 | 맞아. 좀더 구체적으로 한다면, 똑같이 나눠주는 것의 반대는 똑같이 거둬들이는 게 돼. 그런데 똑같이 나눠주는 게 나눗셈이야. 그렇다면 똑같이 거둬들이는 건 뭘까?

니체 | 똑같이 거둬들인다……. 어? 그건 곱셈이잖아. 똑같은 양을 여러 번 더하는 셈이니까. 그럼 나눗셈이 곱셈의 반대인 거야?

유클리드 | 그렇지. 그러니까 나눗셈은 곱셈과 밀접한 관련이 있는 거야. 곱셈이 양의 수집과 관계된다면 나눗셈은 양의 분배와 관련이 있는 셈이지.

니체 | 곱셈과 나눗셈을 정보의 수집과 분배로 해석한다면 곱셈과 나눗셈은 꼭 필요할 수밖에 없었겠군. 그런데 분배는 다른 방식으로도 가능할 것 같은데. 몇 개씩 나눠줄 것인가가 아니라 몇 사람에게 나눠줄 것인가를 따져볼 수도 있지 않나?

갈릴레이 | 잘 짚어내는데. 그렇다면 나눗셈에는 두 가지의 해석이 가능하겠네.


10÷2=5 → ‘10개를 2개씩 나눠주면 다섯 사람에게 나눠줄 수 있다.’ ‘10개를 두 사람에게 나눠준다면 5개씩 나눠줄 수 있다.’ 

유클리드 | 나눗셈을 뺄셈으로도 설명할 수 있을 것 같아. 10÷2를 10에서 2씩 빼갈 때 몇 번이나 뺄 수 있을까를 보는 거지. 10에서 2씩 뺄 경우 5번이면 완전히 없어져.

니체 | 그렇다면 나눗셈은 곱셈이야, 뺄셈이야? 헷갈리는데. 어쨌든 나눗셈을 그렇게 다양하게 해석할 수 있다는 점을 꼭 기억할게.

갈릴레이 | 중요한 건 각각의 계산이 독립적이지 않다는 거야. 서로 관련이 됐다는 사실을 기억해야 해.




곱셈과 나눗셈을 먼저 할 수밖에 없다


유클리드 | 내가 뭐 하나 발견한 게 있는데 들어볼래? 나눗셈을 곱셈의 역으로 보고, 다시 곱셈을 특별한 덧셈으로 본다면 사칙연산은 결국 두 개밖에 남지 않아. 덧셈과 뺄셈만 남잖아.

계산이란 결국 덧셈과 뺄셈만으로 구성되는 거야. 그 말은 계산식이란 수들의 합과 차로 이뤄진 식이고, 계산이란 그 식의 결과를 알아내는 것이라고 할 수 있어.

니체 | 그럼 이칙연산인가? 같은 수준의, 다른 계산인 줄 알았는데 그게 아니었군.

덧셈과 뺄셈이 원초적인 1차 계산이라면, 곱셈은 1차로부터 파생된 2차 계산, 나눗셈은 2차로부터 파생된 3차 계산이라고 할 수 있겠네. 모두 같은 수준의 계산이 아니었던 셈이야. 가만, 이 사실이 내가 고민했던 계산의 순서 문제와 관련 있는 게 아닐까?

갈릴레이 | 정말! 곱셈과 나눗셈을 덧셈으로부터 파생된 것이라고 한다면 덧셈이나 뺄셈이 더 중요한 거잖아. 그렇다면 덧셈과 뺄셈을 먼저 해야지!

니체 | 그런데 배우기로는 곱셈과 나눗셈을 먼저 해.

유클리드 | 아~~ 알겠다. 니체, 네가 못 풀었다는 계산 문제가 뭐였지?

니체 | 말 똑바로 해. 못 푼 게 아니고, 이해를 못 한 거지.


8+12÷4×6-11


유클리드 | 조금 전 계산식이란 합과 차로만 구성된 거라고 했잖아. 이 식에는 ×, ÷도 섞여 있어. 하지만 ×, ÷는 진정한 계산이라고 할 수 없어. 특별한 덧셈을 달리 표현한 기호에 불과해. 따라서 계산을 하려면 ×, ÷를 원래의 식으로 되돌려줘야만 해. 그리고 나서야 진정한 계산을 수행할 수 있지.

갈릴레이 | ×, ÷를 원래의 식으로 되돌려준다는 것은 결국 ×, ÷를 먼저 해준다는 것과 같은 말이네.

유클리드 | 그렇지 않을까?

니체 | 그런 것 같은데. ×, ÷를 먼저 한다는 건 보다 중요해서가 아니라 ×, ÷가 +, -를 기반으로 하여 만들어진 것이기 때문에 원 상태로 되돌려준다는 의미였어. 기호의 의미를 알고 나니 아무것도 아니군. 뭐든지 알고 나면 쉬운데 알기 전에는 어렵게만 느껴진다니까. 초반부터 성과가 좋은데.




니체, 유클리드, 갈릴레이와 함께하는 『수냐의 수학카페 2』 계산 편은 2월에 독자 여러분을 찾아뵐 예정입니다.